• 專題 全等三形輔助線的添加 - 下載本文

    全等三角形專題

    全等三角形中輔助線的添加

    一.教學內容:全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質的掌握及熟練應用。 二.知識要點:

    1、添加輔助線的方法和語言表述 (1)作線段:連接??;

    (2)作平行線:過點??作??∥??; (3)作垂線(作高):過點??作??⊥??,垂足為??; (4)作中線:取??中點??,連接??;

    (5)延長并截取線段:延長??使??等于??;

    (6)截取等長線段:在??上截取??,使??等于??; (7)作角平分線:作??平分??;作角??等于已知角??; (8)作一個角等于已知角:作角??等于??。 2、全等三角形中的基本圖形的構造與運用 常用的輔助線的添加方法:

    (1)倍長中線(或類中線)法:若遇到三角形的中線或類中線(與中點有關的線段),通常考慮倍長中線或類中線,構造全等三角形。

    (2)截長補短法:若遇到證明線段的和差倍分關系時,通常考慮截長補短法,構造全等三角形。①截長:在較長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條;②補短:將一條較短線段延長,延長部分等于另一條較短線段,然后證明新線段等于較長線段;或延長一條較短線段等于較長線段,然后證明延長部分等于另一條較短線段。 (3)一線三等角問題(“K”字圖、弦圖、三垂圖):兩個全等的直角三角形的斜邊恰好是一個等腰直角三角形的直角邊。

    (4)角平分線、中垂線法:以角平分線、中垂線為對稱軸利用”軸對稱性“構造全等三角形。 (5)角含半角、等腰三角形的(繞頂點、繞斜邊中點)旋轉重合法:用旋轉構造三角形全等。 (6)構造特殊三角形:主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、對稱和弦圖也可以構造)和等邊三角形的特殊三角形來構造全等三角形。 三、基本模型: (1)

    AB

    △ABC中AD是BC邊中線

    ADCBDCE

    1

    全等三角形專題

    方式1: 延長AD到E,使DE=AD,連接BE

    AFBDCE

    方式2:間接倍長,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延長線于E,連接BE

    AMBDCN

    方式3: 延長MD到N,使DN=MD,連接CD (2)

    由△ABE≌△BCD導出 由△ABE≌△BCD導出 由△ABE≌△BCD導出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD (3)角分線,分兩邊,對稱全等要記全

    角分線+垂線,等腰三角形必呈現(三線合一)

    (4)

    2

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    ①旋轉:

    方法:延長其中一個補角的線段(延長CD到E,使ED=BM ,連AE或延長CB到F,使FB=DN ,連AF ) 結論:①MN=BM+DN ②②翻折:

    C?CMN?2AB ③AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM

    0思路:分別將△ABM和△ADN以AM和AN 為對稱軸翻折,但一定要證明 M、P、N三點共線.(∠B+∠D=180且AB=AD)

    (5)手拉手模型

    ①△ABE和△ACF均為等邊三角形

    結論:(1)△ABF≌△AEC;(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型證明);(3)OA平分∠EOF 拓展:

    3

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    條件:△ABC和△CDE均為等邊三角形 結論:(1)、AD=BE (2)、∠ACB=∠AOB (3)、△PCQ為等邊三角形 (4)、PQ∥AE (5)、AP=BQ (6)、CO平分∠AOE (7)、OA=OB+OC (8)、OE=OC+OD ((7),(8)需構造等邊三角形證明)

    ②△ABD和△ACE均為等腰直角三角形

    結論:(1)、BE=CD (2)BE⊥CD ③ABEF和ACHD均為正方形

    結論:(1)、BD⊥CF (2)、BD=CF

    變形一:ABEF和ACHD均為正方形,AS⊥BC交FD于T, 求證:①T為FD的中點. ②S?ABC?S?ADF.

    方法一:

    4

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    方法二:

    方法三:

    變形二:ABEF和ACHD均為正方形,M為FD的中點,求證:AN⊥BC

    ④當以AB、AC為邊構造正多邊形時,總有:FEHGPIADBC

    180??360?1=∠2=

    n. 5





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